ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Exponentialsumme</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Exponentialsumme</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Eine Exponentialsumme ist in der <a href="Analytische_Zahlentheorie" title="Analytische Zahlentheorie">analytischen Zahlentheorie</a> eine endliche Summe der Form

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{f}(N)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/076a8bf54d7f6466eddc921b349755915407acf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:23.507ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle S_{f}(N)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b985ba501f78cb9890f3ecda3e2e315cbd5cb26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.582ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\in \mathbb {N} }" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:[1,N]\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:[1,N]\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5656fbf73ac8772c6884e70b72b427f79215491.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.062ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f:[1,N]\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine (üblicherweise <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">glatte</a>) Funktion und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abd1322823ab46735aa8a0ee02285b552e7e50d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.555ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}" loading="lazy"> ist.

Exponentialsummen werden insbesondere in der <a href="Russland" title="Russland">russischen</a> Literatur (z. B. bei <a href="Iwan_Matwejewitsch_Winogradow" title="Iwan Matwejewitsch Winogradow">Iwan Winogradow</a>) auch als trigonometrische Summen bezeichnet.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> ein reelles <a href="Polynom" title="Polynom">Polynom</a>, so bezeichnet man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{f}(N)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{f}(N)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d85345c8cc72d8efd072a580b0b713634dc6d982.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.434ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle S_{f}(N)}" loading="lazy"> auch als Weyl-Summe, benannt nach <a href="Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyl</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b461ed5c475f0c3b89f7571425a24542dd53f9c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e(x)}" loading="lazy"> nennt man additiver <a href="Charakter_(Mathematik)" title="Charakter (Mathematik)">Charakter</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> nennt man Amplitudenfunktion und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> Länge der Summe.

Der Shift des Argumentes wird mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{f}(N,M):=\sum \limits _{M<n\leq N+M}e\left(f(n)\right)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n+M)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/480324e76ef52ee0878d68e368329c0b51795e1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:53.895ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle S_{f}(N,M):=\sum \limits _{M<n\leq N+M}e\left(f(n)\right)=\sum \limits _{1\leq n\leq N}e\left(f(n+M)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

notiert, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> nun auf dem Interval <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [M+1,M+N]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [M+1,M+N]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2cf2a8a5d2d4947da12ea468fd1123907dd18ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [M+1,M+N]}" loading="lazy"> definiert sein muss.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Komplexe_Verallgemeinerung">Komplexe Verallgemeinerung</h3></div>

Exponentialsummen können für eine reelle Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n})_{1\leq n\leq N}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n})_{1\leq n\leq N}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b222472f34eb04882a19a02bcb8994d7dae8ab84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.314ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{n})_{1\leq n\leq N}}" loading="lazy"> auch auf

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \limits _{1\leq n\leq N}a_{n}e\left(f(n)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b494180a6cb34ae51fce9b0aa28b620c5aca7be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:16.422ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \limits _{1\leq n\leq N}a_{n}e\left(f(n)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

verallgemeinert werden. Dies entspricht der obigen Definition der Exponentialsumme mit einer <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexen Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g:[1,N]\to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g:[1,N]\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ffe439f713ed616a61eab755ac87e59664c2a5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.899ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g:[1,N]\to \mathbb {C} }" loading="lazy">, denn es gilt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e(g(n))=e^{2\pi ig(n)}=e^{2\pi i\operatorname {Re} (g(n))-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84f1ebb3b315510e2209bd22f653189db1895b39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.145ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle e(g(n))=e^{2\pi ig(n)}=e^{2\pi i\operatorname {Re} (g(n))-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}}" loading="lazy"></dd></dl>

und somit gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}=e^{-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41a2e250eb009574b632e3301a7a79e4a9e25cea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.235ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a_{n}=e^{-2\pi \operatorname {Im} (g(n))}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Noch allgemeiner definiert man

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{\Phi ,F}(N_{1};\dots ;N_{r})=\sum \limits _{1\leq x_{1}\leq N_{1}}\cdots \sum \limits _{1\leq x_{r}\leq N_{r}}\Phi (x_{1},\dots ,x_{r})e\left(F(x_{1},\dots ,x_{r})\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e97b2d954f271931cecefbfb0986fb1139017fae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:68.785ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle S_{\Phi ,F}(N_{1};\dots ;N_{r})=\sum \limits _{1\leq x_{1}\leq N_{1}}\cdots \sum \limits _{1\leq x_{r}\leq N_{r}}\Phi (x_{1},\dots ,x_{r})e\left(F(x_{1},\dots ,x_{r})\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

für eine beliebige komplex-wertige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> und eine reell-wertige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Weyl veröffentlichte 1916 als Erster eine Anwendung von Exponentialsummen in der Zahlentheorie (siehe <a href="Gleichverteilung_modulo_1" title="Gleichverteilung modulo 1">Gleichverteilung modulo 1</a>).<a href="#cite_note-3">[3]</a> 1921 entwickelte er eine Methode um Weyl-Summen abzuschätzen, welche heute als Weyls Methode bezeichnet wird.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

1921<a href="#cite_note-5">[5]</a> und 1922<a href="#cite_note-6">[6]</a> veröffentlichte <a href="Johannes_van_der_Corput" title="Johannes van der Corput">Johannes van der Corput</a> zwei Arbeiten, aus der eine weitere Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen hervorging und heute als Van der Corputs Methode bezeichnet wird.

1935<a href="#cite_note-7">[7]</a> und 1936<a href="#cite_note-8">[8]</a> veröffentlichte Iwan Winogradow eine weitere Methode zur Abschätzung von Weyl-Summen.<a href="#cite_note-9">[9]</a> Zusätzlich veröffentlichte er 1937 eine Methode zur Abschätzung von Exponentialsummen mit <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahlen</a>.<a href="#cite_note-10">[10]</a><a href="#cite_note-11">[11]</a> Beide Methoden werden heute als Winogradows Methode bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: <cite style="font-style:italic">Analytic Number Theory</cite>. In: American Mathematical Society (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Colloquium Publications</cite>. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=Analytic+Number+Theory&rft.au=Henryk+Iwaniec+und+Emmanuel+Kowalski&rft.btitle=Colloquium+Publications&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=0821836331&rft.pages=197-227&rft.volume=53" style="display:none"> </li>

<li>Arkhipov, G. I. und Chubarikov, V. N. und Karatsuba, A. A.: <cite style="font-style:italic">Trigonometric sums in number theory and analysis. Transl. from the Russian</cite>. In: Berlin: Walter de Gruyter (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">De Gruyter Expo. Math.</cite> Band 39, 2004, ISBN 3-11-019798-7, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/9783110197983">10.1515/9783110197983</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=Trigonometric+sums+in+number+theory+and+analysis.+Transl.+from+the+Russian&rft.au=Arkhipov%2C+G.+I.+und+Chubarikov%2C+V.+N.+und+Karatsuba%2C+...&rft.btitle=De+Gruyter+Expo.+Math.&rft.date=2004&rft.doi=10.1515%2F9783110197983&rft.genre=book&rft.isbn=3110197987&rft.volume=39" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> B. M. Bredikhin: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Weyl_sum&oldid=44693">Weyl sum.</a> In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AExponentialsumme&rft.title=Weyl+sum&rft.description=Weyl+sum&rft.identifier=https%3A%2F%2Fencyclopediaofmath.org%2Findex.php%3Ftitle%3DWeyl_sum%26oldid%3D44693&rft.creator=B.+M.+Bredikhin&rft.publisher=Encyclopedia+of+Mathematics">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> A. A. Karatsuba: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Trigonometric_sum">Trigonometric sum.</a> In: encyclopediaofmath.org. Encyclopedia of Mathematics, abgerufen am 8. Januar 2023.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AExponentialsumme&rft.title=Trigonometric+sum&rft.description=Trigonometric+sum&rft.identifier=https%3A%2F%2Fencyclopediaofmath.org%2Fwiki%2FTrigonometric_sum&rft.creator=A.+A.+Karatsuba&rft.publisher=Encyclopedia+of+Mathematics">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Hermann Weyl: <cite style="font-style:italic">Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Math. Ann.</cite> Band 77, 1916, S. 313–352.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=%C3%9Cber+die+Gleichverteilung+von+Zahlen+mod.+Eins&rft.au=Hermann+Weyl&rft.btitle=Math.+Ann.&rft.date=1916&rft.genre=book&rft.pages=313-352&rft.volume=77" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Hermann Weyl: <cite style="font-style:italic">Zur Abschatzung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (1+t\mathrm {i} )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (1+t\mathrm {i} )}</annotation>

</semantics>

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<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> J. G. van der Corput: <cite style="font-style:italic">Zahlentheoretische Abschätzungen</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematische Annalen</cite>. Band 84, 1921, S. 53–79 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://eudml.org/doc/158879">eudml.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=Zahlentheoretische+Absch%C3%A4tzungen&rft.au=J.+G.+van+der+Corput&rft.btitle=Mathematische+Annalen&rft.date=1921&rft.genre=book&rft.pages=53-79&rft.volume=84" style="display:none">

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<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> J. G. van der Corput: <cite style="font-style:italic">Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Math. Ann.</cite> Band 87, 1922, S. 39–65, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01458035">10.1007/BF01458035</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=Versch%C3%A4rfung+der+Absch%C3%A4tzung+beim+Teilerproblem&rft.au=J.+G.+van+der+Corput&rft.btitle=Math.+Ann.&rft.date=1922&rft.doi=10.1007%2FBF01458035&rft.genre=book&rft.pages=39-65&rft.volume=87" style="display:none">

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<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> I. M . Winogradow: <cite style="font-style:italic">On Weyl's sums</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mat. Sbornik</cite>. Band 42, 1935, S. 521–530.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=On+Weyl%27s+sums&rft.au=I.+M+.+Winogradow&rft.btitle=Mat.+Sbornik&rft.date=1935&rft.genre=book&rft.pages=521-530&rft.volume=42" style="display:none">

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<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> I. M . Winogradow: <cite style="font-style:italic">A new method of estimation of trigonometrical sums</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mat. Sbornik</cite>. Band 43, Nr. 1, 1936, S. 175–188.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=A+new+method+of+estimation+of+trigonometrical+sums&rft.au=I.+M+.+Winogradow&rft.date=1936&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Mat.+Sbornik&rft.pages=175-188&rft.volume=43" style="display:none">

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<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Henryk Iwaniec und Emmanuel Kowalski: <cite style="font-style:italic">Analytic Number Theory</cite>. In: American Mathematical Society (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Colloquium Publications</cite>. Band 53, 2004, ISBN 0-8218-3633-1, S. 197–227.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=Analytic+Number+Theory&rft.au=Henryk+Iwaniec+und+Emmanuel+Kowalski&rft.btitle=Colloquium+Publications&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=0821836331&rft.pages=197-227&rft.volume=53" style="display:none">

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<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> I. M . Winogradow: <cite style="font-style:italic">The representation of an odd number as a sum of three prime numbers</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Dokl. Akad. Nauk SSSR</cite>. Band 15, Nr. 2, 1937, S. 291–294.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=The+representation+of+an+odd+number+as+a+sum+of+three+prime+numbers&rft.au=I.+M+.+Winogradow&rft.date=1937&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=Dokl.+Akad.+Nauk+SSSR&rft.pages=291-294&rft.volume=15" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> I. M . Winogradow: <cite style="font-style:italic">Some theorems concerning the theory of prime numbers</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mat. Sb.</cite> Band 44, Nr. 2, 1937, S. 179–196.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Exponentialsumme&rft.atitle=Some+theorems+concerning+the+theory+of+prime+numbers&rft.au=I.+M+.+Winogradow&rft.date=1937&rft.genre=journal&rft.issue=2&rft.jtitle=Mat.+Sb.&rft.pages=179-196&rft.volume=44" style="display:none">

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